Reste et algèbre - Corrigé

Énoncé

Soit $n\in \mathbb{N}$ .

Déterminer, en fonction de $n$ , le reste dans la division euclidienne de $8n+5$ par $3n+1$ .

Solution

On note  $r$ le reste dans la division euclidienne   de $8n+5$ par $3n+1$ .

On remarque que : $8n+5=2(3n+1)+2n+3$ . Or $2n+3⩾0$ et $2n+3<3n+1⟺n>2$ .
Ainsi, $r=2n+3⟺n>2$ .

Il reste à traiter les trois cas manquants :

• si  $n=0$ , alors  $8n+5=5$  et  $3n+1=1$  ;
  et on a  $5=1\times 5+0$  donc  $r=0$  ;
• si  $n=1$ , alors  $8n+5=13$  et  $3n+1=4$  ;
  et on a  $13=4\times 3+1$  donc  $r=1$  ;
• si  $n=2$ , alors  $8n+5=21$  et  $3n+1=7$  ;
  et on a  $21=7\times 3+0$  donc  $r=0$ .

En résumé, concernant la division euclidienne de $8n+5$ par $3n+1$  :

$\begin{array}{|ccccc|}\hline n& 0& 1& 2& ⩾3\\ \text{Quotient}& 5& 3& 3& 2\\ \text{Reste}& 0& 1& 0& 2n+3\\ \hline\end{array}$